认真科普整数量子霍耳效应 Mr.X (1) 经典霍耳效应 “从六十年代中期以来，二维电子系统的研究取得了巨大进展，而1980年量子霍 耳效应的发现使二维电子系统的研究进入一个新阶段。可以说，量子霍耳效应的 发现是近年来凝聚态物理领域最重要的发现之一。”----《凝聚态物理学新论》 第四章第一节，冯端、金国钧著 子曰：“温故而知新，可以为师矣。”要谈量子霍耳效应，当然得先介绍经典霍 耳效应。 为了便于后面描述量子霍耳效应，不妨考虑一个长方形的平面导体，与长边平行 的方向记为X方向，与短边平行的方向记为Y方向，而与平面垂直的方向记为Z方 向。如果在导体X方向的两端加上一个恒定的电压，那么就会在X方向上产生恒定 的电流，电压与电流成正比，比值称为“电阻”，这就是大家熟知的欧姆定律。 那么，如果在X方向上加电压的同时，又在Z方向上加一个恒定而且均匀的磁场， 会产生什么样的现象呢？1879年，Edwin。霍耳做实验研究了这个问题。他发 现，在导体X方向上仍然会产生恒定的电流，但同时在导体Y方向的两端测量到一 个恒定的电压。这个电压与产生的恒定电流成正比，后来被称为“霍耳电压”， 霍耳电压与电流的比值则称为“霍耳电阻”。由于霍耳电压的方向与恒定电流的 方向垂直，霍耳电压和霍耳电阻常常又被称做“横向电压”和“横向电阻”，而 与恒定电流方向相同的外加电压则称为“纵向电压”，相应的电阻称为“纵向电 阻”。磁场产生的这个效应被命名为“经典霍耳效应”。 经典霍耳效应可以很好地用经典力学和电磁学解释。根据经典电磁学，运动的电 荷在磁场中会受到一个力，它的方向与电荷运动方向和磁场方向都垂直，而大小 正比于电荷的运动速度和磁场强度。这个偏转力的方向还与电荷的正负性有关。 简单地说，如果磁场的大小和方向不变，电荷的运动方向和速度也不变，而电荷 由带正电变成带负电，那么磁场产生的偏转力大小不变，但方向将相反。在霍耳 做的那个实验里，电荷沿着导体X方向运动，而Z方向上有一个磁场，那么电荷会 受到一个沿Y方向的力，于是会向Y方向偏转而跑到导体Y方向的某一端去。这 样，导体Y 方向的某一端就会积累很多电荷，而这些电荷会在Y方向产生一个电 场，这个电场的作用是抵消磁场产生的偏转力从而阻止更多的电荷发生偏转。当 磁场的偏转作用与累积电荷的电场的作用相互抵消的时候，电荷只沿着导体X方 向运动，从而仍然在X方向形成一个恒定的电流，而在Y方向上就产生了霍耳电 压。这样，经典霍耳效应的基本现象就得到了完整的解释。那么，经典霍耳效应 有什么用处呢？由于磁场产生的偏转力大小与电荷运动速度和磁场强度成正比， 而霍耳电压的作用是抵消磁场的偏转力，所以霍耳电压应该正比于电流和磁场强 度，也就是说，霍耳电阻是正比于磁场强度的。简单的推导显示，霍耳电阻与磁 场强度的比值等于导体中的运动电荷的密度的倒数。因此，通过测量霍耳电阻， 可以计算出导体内运动电荷的密度。此外，由于磁场产生的偏转力的方向与运动 电荷带电的正负性有关，如果加在导体上的电压和磁场方向都确定，那么导体内 的运动电荷如果由带正电变成带负电，霍耳电压的方向也将相反。这样，根据霍 耳电压的方向，还可以确定导体内的运动电荷是带正电还是带负电。导体的导电 电荷密度和所带电荷的正负号都是导体导电性质的重要参量，所以，经典霍耳效 应是非常有用的，也是非常重要的。 那么，整数量子霍耳效应与经典霍耳效应有什么不同呢？它与“整数”有什么关 系呢？且听下回分解。 (2) 实验现象 书接上回。 先强调一下：经典霍耳效应对导体的维数是没有限制的，二维三维都可以，上一 节把导体设想成二维平面，仅仅是为了描述上的方便。但是，量子霍耳效应要求 导电电荷的运动必须被约束在二维平面上。所以，在下面的关于量子霍耳效应的 描述中，导电电荷是真正只在二维平面上运动的。在实验上，是通过把导电电荷 约束在一个厚度为纳米量级的薄层而实现的。大家可能会问：虽然很薄，但仍然 有厚度的，为什么能认为电荷真正是在二维运动呢？这个问题在后面介绍理论解 释的时候会给出详细的答案，在这里，只简单说一句：经典系统是不可能实现二 维的，只有考虑量子力学才可能实现真正的二维运动。 为后面描述方便起见，俺再说一些关于实验测量的废话。在量子霍耳效应的实验 测量中，采取的是所谓的“四个接头测量”。还是采用前面的描述，外加电压和 产生的电流都沿着X方向，磁场沿着Z方向，而霍耳电压是沿着Y方向的。请大家 俯瞰这个平面，调整方位，让外加电压产生的电流从平面的左侧流向右侧，霍耳 电压则在平面的上下两侧之间。现在，请大家从平面的上侧边界选两个相距为L （L要足够长，可以取为平面在X方向上的长度的一半）的点，靠左边的记为A， 靠右边的记为B，从这两个点引出两条引线来。然后，找到平面的下侧边界上与A 和B分别对应的两个点，靠左边的记为C，靠右边的记为D，也引出两条引线来。 这样，一共从四个接头处引出了四条引线。在实验中，测量纵向电压的时候，测 量的必须是同一侧边界上的两个点引出的引线之间的电压，可以用上侧边界A、B 两点引出的引线，也可以用C、D两点。而测量横向电压的时候，测量的则必须是 两侧边界对应的两点引出的引线之间的电压，可以用A、C两点，也可以用B、D两 点。也就是说，测量的是真正的“纵向电压”和“横向电压”。说起来容易，但 实验中的那个“平面”的长和宽都是很窄的，通常只有百分之几毫米，稍不留神 就会搞错。实验物理学绝对是必须认真仔细有耐心的人们才能从事的工作，他们 的工作是值得尊敬的。 现在就来看看整数量子霍耳效应的主要实验现象。整数量子霍耳效应是Von Klitzing、Dorda和Pepper（现在好象翻译成冯。克里青）在1980年发现的，不 过后来的诺贝尔奖金只发给了Von Klitzing一个人。实验的过程是：如上所述， 把运动电荷约束到一个平面上，在垂直于平面的方向上施加一个均匀的强磁场 （大约几个到10几个特斯拉），把系统的温度降低到很低（10K以下），然后去 测量这个二维系统的纵向电压、横向电压和电流，计算出纵向电阻和霍耳电阻， 观察它们如何随着外加磁场的变化而改变。 上一节提到，按照经典理论，霍耳电阻是与磁场强度成反比的，而纵向电阻几乎 不随磁场变化。但是，Von Klitzing三人发现了惊人的现象：如果画出纵向电阻 和霍耳电阻随磁场强度变化的曲线，那么，在某些磁场区域内，霍耳电阻不随磁 场变化，其曲线呈现一个一个的分立的平台，被称为量子平台，在两个相邻平台 之间的很窄的区间内发生迅速的改变；同时，在霍耳电阻曲线成为平台的各个磁 场区域内，纵向电阻几乎等于零，而在霍耳电阻曲线的两个平台之间的窄区间内 纵向电阻曲线呈现一个峰的形状。 进一步的分析和计算表明，霍耳电阻曲线成为平台的区域内，霍耳电阻等于一个 常数电阻除以一个整数，这个常数电阻等于量子力学里的普朗克常数除以电子电 荷的平方，即h/(e*e)。在理论研究中，通常是计算电导，简单地说就是电阻的 倒数，这样，平台区域的霍耳电导就应该等于e*e/h的整数倍，这就是这个效应 被称为“整数量子霍耳效应”的原因。由于量子平台对应的霍耳电阻值只由普朗 克常数h和电子电荷e这两个物理学常数决定，它可以用来作为电阻的绝对单位， 因此，整数量子霍耳效应具有重要的应用价值。另外，整数量子霍耳效应还具有 重要的理论价值，可以与其他独立实验结果相结合来判断量子电动力学的正确 性，这里就不详细谈了。 现在简单分析一下整数量子霍耳效应的奇怪之处。霍耳电阻曲线呈现平台，这本 身已经有些奇怪了；可是更奇怪的是纵向电阻在霍耳电阻曲线成为平台的区域几 乎等于零。需要注意的是，纵向电阻是用纵向电压除以纵向电流得到的，而纵向 电压测量的是沿着纵向电流方向上的同一侧边界上的两个有一定距离的点之间的 电压。这样，纵向电阻几乎等于零，就意味着沿着电流方向上的同一侧边界上几 乎没有电压，而两侧边界之间的电压也就是霍耳电压几乎就等于在平面沿着电流 方向的两端施加的外加电压。这就非常奇怪了：本来在平面的X方向两端边界之 间施加了一个电压，结果这个电压实际上却被加在了Y方向的两端边界之间，而 沿着X方向同侧边界反而几乎没有电压。这是怎么形成的呢？ 下回再说。 (3)二维运动 书接上回。 先回答为什么约束在一个厚度为纳米量级的薄层内的粒子的运动可以被认为是严 格的二维运动。这里需要强调的是，说粒子运动可以被认为是“二维运动”，只 需要要求粒子在第三个方向上的运动状态不发生改变就行了，并不需要粒子在第 三个方向上完全没有运动。 现在请大家考虑粒子沿着垂直于薄层平面方向的运动。它可以看作一个被约束在 一条线段上的粒子的一维运动：粒子在线段两端点之间可以自由地运动，而在两 个端点处被弹性地弹回，线段的长度就是薄层的厚度。按照经典力学，无论这条 线段多么短，只要长度不等于零，粒子运动状态对应的能量总是可以连续地取值 的。就是说，无论粒子的运动能量在初始时刻等于多少，能量的改变值都可以是 无限小的。这样，只要有哪怕一点点外界的扰动，粒子的状态就可以发生变化。 因此，在经典力学下，只要环境的影响不绝对地消失，粒子在垂直于薄层方向的 运动状态总是会改变的。这样，虽然在量子霍耳效应实验里，环境的温度非常 低，但并不等于零，所以粒子的运动在经典力学看来仍然是三维的。 在量子力学里，这个一维问题是可以严格求解的，求解的结果是：粒子的运动动 能是不能连续取值的，而是只能取某些特定的数值，这些能量的数值如果从小到 大地排列起来，它们之间是等间距的。也就是说，最小的那个能量数值与第二小 的那个能量数值之间是有一个间隔的。这个能量间隔正比与普朗克常数的平方， 反比于薄层厚度的四次方与粒子质量的平方的乘积。也就是说，薄层越薄，粒子 质量越小，这个能量间隔越大。在量子霍耳效应实验里，薄层的厚度是纳米量 级，把电子质量等参数代入，可以求出：如果要让电子从对应于最小能量的运动 状态跳到第二小的能量状态，那么环境的温度大约需要几百K左右，但是实验温 度在2K以下，不足以提供所需要的能量。这样，电子垂直于薄层的运动状态被 “冻结”在最低的能量状态，所以可以被看成是只在薄层平面内运动。 下面解释为什么纵向电压会几乎等于零。这个部分由几个自问自答组成。首先， 请大家考虑一个问题：如果电子能够从平面的一端毫无阻碍地跑到另一端，那 么，在平面内会不会有电压？答案很简单：不会。大家都知道，理想导体的内部 是等电势的，也就是没有电压的，而电子能在里面自由地运动。当然，这是理想 导体，实际导体内部，即使在绝对零度，也是有很多缺陷和杂质，这些都会对电 子的运动产生阻碍，从而产生“电阻”，因此需要外加电压才能使电子从导体的 一端跑到另一端。因此，结合上节的描述，在整数量子霍耳效应里，纵向电压几 乎等于零，实际上意味着电子能够沿着电流方向上的同一侧边界几乎无阻碍地从 一边跑到另一边。为什么会这样呢？ 请大家考虑这个问题：如果在垂直于平面的方向上加一个均匀的磁场，那么，在 平面上的一个自由电子将如何运动？有些同志可能会说：这个问题too simple too naïve了，经典理论里头都有，不就是洛仑兹力产生的回旋运动么？完 全正确。那么，如果在平面的X方向上施加一个均匀电场，这个电子又会如何运 动呢？一个直观的回答是，电子会做回旋运动，而回旋运动的中心则会沿着电场 方向即X方向运动。这个回答就不完全正确了。电子仍然会做回旋，这是正确 的；但电子回旋运动的中心不是沿着X方向运动，而是沿着Y方向运动，也就是沿 着电场的等电势线运动。回旋中心沿着电场等势线的这种运动，通常被称为“拽 引运动”，运动的速度等于电场强度除以磁场强度。这个答案不那么直观，不相 信的同志可以亲自动手解一下这种情况下的自由电子的牛顿力学运动方程。 在量子霍耳效应的实验里，在沿着电流方向的边界附近的电子，其运动大致就是 这个样子的。所谓的“边界”，可以看成是在边界附近有一个急剧升高的电势 场，这个电势场把电子约束在平面内，它在同一侧的边界线附近总是存在的。这 个电势场产生的等效电场与垂直于平面的磁场共同作用，使得在同一侧边界附近 的电子的回旋运动中心沿着这个电势场的等电势线运动。由于二维的特殊性，这 条等势线必须可以沿着这一侧边界从平面的一边连通到另一边的。这样，同一侧 的边界附近的电子就可以几乎无阻碍地沿着边界上的这个通道从一边跑到另一 边，于是，同一侧边界上几乎没有电压。 但是，这样一来，岂不是所有的电子都可以从这种通道走么？如果是这样，霍耳 电导就应该正比于电子的密度，但实际上霍耳电导却是只能取e*e/h的整数倍， 而且这个整数还不是很大，这是为什么呢？ 下回再说。 【虹桥科教论坛网友文库(www.rainbowplan.org/cgi-bin/edu/mainpage.pl)】